相信绝大部分理工科专业的同学,大一开学的时候,都会要上高数这门课。放下有段时间了,最近复习起来遇到了之前大一时也思考过的一个问题 —— 常数与无穷小、有限个无穷小的乘积均为无穷小,怎么无穷个无穷小的乘积就不一定是无穷小了呢?这个结论似乎与直觉不符,但说到底也是因为没搞清楚无穷小等相关概念和它们之间的关系。回顾一下,高数课本上对无穷小的定义:

对于函数 $( f(x) )$ ,若当 $( x \to 0 )$ (或 $( x \to \infty )$) 时,其极限为 0 ,则称 $( f(x) )$ 为当 $( x \to 0 )$ (或 $( x \to \infty )$) 时的无穷小。

也就是说无穷小是针对特定极限过程中,相应的函数极限值的一种情况的定义(这种情况就是极限为0)。而对于无穷个无穷小量的乘积,首先需要悉知无穷小本身就是一个极限定义,“无穷个”又是另外一个极限定义,但它们所对应的变化过程并不要求是对应同一个。所以如果能够人为构造相应的函数序列,使得最后连乘结果的极限不为0即可。例如如下定义:

$$ F(x) = \prod\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x) \qquad 其中 \; f_n(x) = x n \quad , \quad n \in [1,\infty) $$

对于某个 $( f_n(x) )$ ,在 $( x \to 0 )$ 的极限过程中,必然有 $( f_n(x) \to 0 )$,因为在此变化过程种 $( n )$ 是一个确定的量。所以 $( F(x) )$ 即为所讨论的在此变化过程中无穷个无穷小的乘积。然而对于 $( F(x) )$ 而言,处于两个变化过程中:$( x \to 0 \quad 且 \quad n \to \infty )$ 。而化简一下 $( F(x) )$ 有:

$$ F(x) = \prod\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x) = n!\,x^n $$

对于 $( \lim\limits_{x \to 0}F(x) )$ 只需要 $( n )$ 足够大,大到满足 $( x > \frac{1}{n} )$ ,即 $( xn > 1 )$,即可以保证最后一项大于 1 ,且当 $( n )$ 继续增大时,大于 1 的项数会越来越多直到抵消掉前面趋于 0 的项。所以反例说明无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。所以更多的来说是一个概念理解的问题。

当然,这里的思考比较简陋,知乎上(无穷多个无穷小的乘积为什么不一定是无穷小?)也有相关问题的讨论,更加详尽。